Chapter 11 · Section 6

刚架的稳定

刚架在竖向荷载作用下的失稳通常属于 第二类失稳（极值点型）。工程中常将横梁荷载等效为柱顶集中力，把问题近似转化为 第一类失稳 处理—— 用 位移法 或 有限元法 建立考虑轴力影响的结构刚度方程，通过 $|K + K_{G}| = 0$ 求临界荷载。

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11.6.1

刚架稳定性问题的特征

Overview

思考题 · 刚架失稳属于第一类还是第二类？

刚架在竖向荷载作用下的失稳一般属于 第一类（分支点失稳）还是 第二类（极值点失稳）？两者的区别是什么？

答：通常属 第二类失稳——刚架一加载即有侧移，杆件处于弯曲平衡，随荷载增大变形非线性增长，至极值点丧失承载力（见 §11-1.5）。工程实用简化为第一类问题处理（忽略轴向变形、集中荷载等效）。

刚架受竖向均布荷载作用时会立即发生侧移，杆件处于 弯曲平衡状态。柱子上的轴力在侧移引起的附加弯矩会进一步增大，侧移增长的速度不断加快—— 当荷载达到临界值时出现 极大值点（见动画 11.6.1-a），属于 第二类失稳（极值点失稳）。

动画 11.6.1-a

工程上的简化：第二类 → 第一类

实用中常将 横梁上竖向荷载（见动画 11.6.1-a）分解为作用于 横梁两端结点上集中荷载（见动画 11.6.1-a）。此时忽略杆件轴向变形的影响，则仅柱子受轴向压力作用——刚架在失稳前始终保持直线平衡状态，当轴压达到临界值时才出现分支。

这样就把原本 "丧失第二类稳定性" 的问题 近似地转化为丧失第一类稳定性 的问题，可用位移法 / 有限元法处理。

含轴压杆件的刚度变化

轴向压力 $F_{\mathrm P}$ 越大，杆件 转动刚度 与 侧移刚度 越低——当 $F_{\mathrm P}$ 达临界时，刚度将 降为零。如图所示悬臂杆无轴向压力时转动刚度 $S_{BA} = 3i = 3EI/l$，而侧移刚度 $k = 3i/l^{2} = 3EI/l^{3}$，一旦柱端转动或侧移刚度变为零，杆件将无法维持在结构其余部分刚度的扶持下平衡。

11.6.2

位移法 · 计及轴力的转角位移方程

Displacement Method

① 计轴力的压杆平衡方程

考察压杆：两端转角 $\theta_{A},\, \theta_{B}$，横向相对线位移 $\Delta$，杆端弯矩、剪力如该图。

$$ EI\, y'' \;=\; -\,(M_{AB} \;+\; F_{\mathrm Q}\, x \;+\; F_{\mathrm P}\, y) \qquad \text{(a)} $$

(11.6-1)

括号内第三项代表轴力对弯矩的影响。令

$$ u \;=\; \alpha\, l \;=\; l\, \sqrt{\dfrac{F_{\mathrm P}}{EI}}$$

(11-34)

方程改写为 $y'' + (u/l)^{2}\, y = -(M_{AB} + F_{\mathrm Q} x)/EI$，通解

$$ y \;=\; A\cos\dfrac{u x}{l} \;+\; B\sin\dfrac{u x}{l} \;-\; \dfrac{M_{AB} + F_{\mathrm Q} x}{F_{\mathrm P}} $$

(11.6-2)

动画 11.6.2-a

② 两端固定杆件 · 转角位移方程

由边界条件 $x = 0$ 处 $y = 0,\, y' = \theta_{A}$，$x = l$ 处 $y = \Delta,\, y' = \theta_{B}$，解得：

$$ \left\{\begin{aligned} M_{AB} &= 4i\,\theta_{A}\,\xi_{1}(u) \;+\; 2i\,\theta_{B}\,\xi_{2}(u) \;-\; 6i\,\dfrac{\Delta}{l}\,\eta_{1}(u) \\[2pt] M_{BA} &= 2i\,\theta_{A}\,\xi_{2}(u) \;+\; 4i\,\theta_{B}\,\xi_{1}(u) \;-\; 6i\,\dfrac{\Delta}{l}\,\eta_{1}(u) \\[2pt] F_{QAB} &= F_{QBA} \;=\; -\,\dfrac{6i}{l}(\theta_{A}+\theta_{B})\,\eta_{1}(u) \;+\; \dfrac{12i}{l^{2}}\,\Delta\,\eta_{2}(u) \end{aligned}\right.$$

(11-35)

其中 $i = EI/l$ 为线刚度；$\xi_{1},\xi_{2},\eta_{1},\eta_{2}$ 为 计轴力的刚度修正系数（$u$ 的函数，见表11-2）。

③ 一端固定一端铰支情形

若 $A$ 端铰支，利用 $M_{AB}=0$ 消去 $\theta_{A}$ 得

$$ \left\{\begin{aligned} M_{BA} &= 3i\, \theta_{B}\,\xi_{3}(u) \;-\; 3i\,\dfrac{\Delta}{l}\,\eta_{3}(u) \\[2pt] F_{QBA} &= -\,\dfrac{3i}{l}\,\theta_{B}\,\xi_{3}(u) \;+\; \dfrac{3i}{l^{2}}\,\Delta\,\eta_{3}(u) \end{aligned}\right.$$

(11-36)

表11-2 还列出了由单位位移引起的杆端弯矩、矩形图以及相应的杆端剪力。

④ 位移法稳定方程 · $D = 0$

对有 $n$ 个结点位移 $Z_{1},\ldots,Z_{n}$ 的刚架，组装得位移法典型方程：

$$ r_{11} Z_{1} \;+\; r_{12} Z_{2} \;+\; \cdots \;=\; 0,\qquad \ldots \qquad (\text{e}) $$

(11.6-3)

$Z_{i}=0$ 是平凡解（刚架保持原始平衡状态）。失稳时需非零解，要求系数行列式为零：

$$ D \;=\; \bigl|\, r_{ij}\,\bigr| \;=\; 0$$

(11-37)

这就是位移法中刚架的 稳定方程；求最小正根即得临界荷载

例11-7 · 刚架的临界荷载

该刚架有结点 $B,\, D$ 的角位移 $Z_{1}, Z_{2}$ 两个位移基本未知量。因两柱尺寸与轴向压力相同：

$$ u_{1} \;=\; u_{2} \;=\; u \;=\; l\sqrt{\dfrac{F_{\mathrm P}}{EI}} $$

(11.6-4)

作出单位弯矩图 $\overline{M}_{1}, \overline{M}_{2}$（动画 11.6.2-b,d），求得

$$ r_{11} \;=\; 11i \;+\; 4 i\, \xi_{1}(u), \qquad r_{22} \;=\; 8i \;+\; 4 i\, \xi_{1}(u), \qquad r_{12} \;=\; r_{21} \;=\; 4i $$

(11.6-5)

动画 11.6.2-b

刚架的稳定方程

$$ D \;=\; \begin{vmatrix} r_{11} & r_{12} \\[2pt] r_{21} & r_{22} \end{vmatrix} \;=\; 0 $$

(11.6-6)

代入系数后得

$$ \xi_{1}^{2}(u) \;+\; 4.75\, \xi_{1}(u) \;+\; 4.5 \;=\; 0 $$

(11.6-7)

两根 $\xi_{1}(u) = -1.307,\, -3.443$，由表11-2 第一栏公式反查得较小的 $u$ 值为 $u = 5.46$。

$$ F_{\mathrm{Pcr}} \;=\; u^{2}\,\dfrac{EI}{l^{2}} \;=\; (5.46)^{2}\,\dfrac{EI}{l^{2}} \;\approx\; 29.81\,\dfrac{EI}{l^{2}} $$

(11.6-8)

11.6.3

有限单元法 · 几何刚度矩阵

FEM · K + K_G

第 8 章矩阵位移法中，刚架单元的杆端力 $\boldsymbol{F}^{e}$ 与杆端位移 $\boldsymbol{\Delta}^{e}$ 之间满足 单元刚度方程：

$$ \boldsymbol{F}^{e} \;=\; \boldsymbol{k}^{e}\, \boldsymbol{\Delta}^{e} $$

(11.6-9)

$\boldsymbol{k}^{e}$ 为单元刚度矩阵

在作刚架稳定性分析时，为计及 轴向力对单元刚度的影响，将单元刚度方程改写为：

$$ \boldsymbol{F}^{e} \;=\; \bigl(\boldsymbol{k}^{e} \;+\; \boldsymbol{k}^{e}_{G}\bigr)\, \boldsymbol{\Delta}^{e}$$

(11-38)

$\boldsymbol{k}^{e}_{G}$ 为 单元几何刚度矩阵（又称单元初应力矩阵），仅与单元轴向力大小有关

动画 11.6.3-a

结构刚度方程

按照位移法典型方程相似的装配方法，得整体形式：

$$ \bigl(\boldsymbol{K} \;+\; \boldsymbol{K}_{G}\bigr)\, \boldsymbol{\Delta} \;=\; \mathbf{0}$$

(11-39)

$\boldsymbol{K}$ = 结构刚度矩阵；$\boldsymbol{K}_{G}$ = 结构几何（初应力）刚度矩阵

方程右端为零向量，其理由与位移法典型方程中 "自由项" 均为零相同。

稳定方程（有限元形式）

临界状态的特点是式 (11-39) 取得关于结点位移 $\boldsymbol{\Delta}$ 的 非零解，其条件为系数行列式为零：

$$ \bigl|\, \boldsymbol{K} \;+\; \boldsymbol{K}_{G}\,\bigr| \;=\; 0$$

(11-40)

采用有限单元法计算临界荷载时的 稳定方程

由于 $\boldsymbol{K}_{G}$ 与轴力大小成正比（随 $F_{\mathrm P}$ 线性变化）， (11-40) 本质上是一个 广义特征值问题—— 最小特征值即为临界荷载因子。这种方法便于 计算机程序化求解任意复杂刚架，是现代结构稳定分析的标准做法。

二阶分析的提示

在作刚架的内力分析时，若杆件受的轴向力很大（与临界荷载相比），则轴向力对杆件刚度的影响就不能忽略。这种 考虑轴向力对刚度影响（即 $P\Delta$ 效应） 的结构分析称为 二阶分析。对超高层建筑或构筑物来说，二阶效应常不容忽视。

本节要点

刚架通常属 第二类失稳，工程上用 "集中荷载等效" 近似转化为第一类稳定问题；
位移法：推导 计轴力的转角位移方程 (11-35)(11-36)，修正系数 $\xi,\eta$ 是 $u = l\sqrt{F_{\mathrm P}/EI}$ 的函数；
位移法稳定方程 $D = |r_{ij}| = 0$——求最小正根即得 $F_{\mathrm{Pcr}}$；
有限元法：把轴力影响封装在 几何刚度矩阵 $\boldsymbol{K}_{G}$ 中，稳定方程 $|\boldsymbol{K}+\boldsymbol{K}_{G}|=0$ 化为广义特征值问题；
本章结束 — 后续第 12 章将讨论 结构塑性分析与极限荷载。

第12章 §12-1 →