Chapter 12 · Section 2

纯弯曲梁的极限弯矩和塑性铰

以 矩形截面纯弯梁 为典型例子，系统推导梁在 弹性 → 弹塑性 → 塑性 三阶段中截面应力的演变过程， 得到 屈服弯矩 $M_{\mathrm s}$、极限弯矩 $M_{\mathrm u}$、形状系数 $\alpha$ 等核心量—— 为全章塑性分析奠定基础。

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12.2.1

纯弯曲梁应力分布的三个阶段

Three Stages

动画 12.2.1 所示由理想弹塑性材料制成的纯弯梁，其横截面为宽度 $b$、高度 $h$ 的矩形（见动画 12.2.1）。 随着弯矩 $M$ 的增大，梁将经历弹性、弹塑性、塑性三个阶段。 在各阶段都认为平截面假设成立——应变 $\varepsilon$ 沿截面高度线性分布，与曲率 $\kappa$ 满足：

$$ \varepsilon \;=\; \kappa\, y$$
(12-1)

由截面平衡条件 $\sum F_{x} = 0$ 与 $\sum M = 0$：

$$ \int_{A} \sigma\, \mathrm d A \;=\; 0,\qquad \int_{A} \sigma\, y\, \mathrm d A \;=\; M \qquad (12\text{-}2,\,12\text{-}3) $$
(12.2-1)
几何、平衡条件与弹性分析完全相同；仅 应力-应变 物理条件不同
动画 12.2.1
① 弹性阶段

$M \le M_{\mathrm s}$

整个截面应力 $\sigma = E\kappa y$ 线性分布（见动画 12.2.1）；最大应力未到 $\sigma_{\mathrm s}$。

② 弹塑性阶段

$M_{\mathrm s} < M < M_{\mathrm u}$

截面上下边缘 $|y| \ge y_{0}$ 部分屈服（$\sigma = \pm\sigma_{\mathrm s}$），弹性核内部仍线性（见动画 12.2.1）。

③ 塑性阶段

$M = M_{\mathrm u}$

弹性核 $y_{0} \to 0$。整个截面应力为 两矩形 $\pm \sigma_{\mathrm s}$——塑性铰形成。

① 弹性阶段 · 线性分布

$\sigma = E\varepsilon = E\kappa y$（式12-4、12-5），代入式(12-3)：

$$ M \;=\; EI\, \kappa$$
(12-6)

弹性阶段终点：截面最外纤维处应力到达屈服极限 $\sigma_{\mathrm s}$，相应应变记为 $\varepsilon_{\mathrm s}$。此时的弯矩 $M_{\mathrm s}$ 和曲率 $\kappa_{\mathrm s}$ 分别为

$$ M_{\mathrm s} \;=\; \dfrac{b\, h^{2}}{6}\, \sigma_{\mathrm s},\qquad \kappa_{\mathrm s} \;=\; \dfrac{2\, \sigma_{\mathrm s}}{E\, h}$$
(12-7)
$M_{\mathrm s}$ 称为 弹性极限弯矩（屈服弯矩）
12.2.2

极限弯矩与形状系数

Plastic Moment

② 弹塑性阶段

当 $M > M_{\mathrm s}$ 时，上下边缘部分形成塑性区（$\sigma = \pm\sigma_{\mathrm s}$），中部 $|y| \le y_{0}$ 仍处于弹性状态。 截面上仍处弹性的区域称为 弹性核，弹性核内的应力保持直线分布 $\sigma = \sigma_{\mathrm s}\cdot y/y_{0}$。 由 $\int \sigma y\, \mathrm d A = M$ 分段积分：

$$ M \;=\; \sigma_{\mathrm s}\, b\!\left(\dfrac{h}{2} - y_{0}\right)\!\left(\dfrac{h}{2} + y_{0}\right) \;+\; \sigma_{\mathrm s}\, b\cdot \dfrac{2\, y_{0}^{2}}{3} \;=\; M_{\mathrm s}\!\left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{2\, y_{0}^{2}}{h^{2}}\right)$$
(12-8)

由弹性核边缘 $y = y_{0}$ 处 $\sigma = \sigma_{\mathrm s}$ 推得曲率：

$$ \kappa \;=\; \dfrac{\varepsilon_{\mathrm s}}{y_{0}} \;=\; \dfrac{\sigma_{\mathrm s}}{E\, y_{0}} \;=\; \dfrac{h}{y_{0}}\, \kappa_{\mathrm s}$$
(12-9)

消去 $y_{0}$，得到 $M$-$\kappa$ 非线性关系：

$$ \dfrac{M}{M_{\mathrm s}} \;=\; \dfrac{1}{2}\!\left[\, 3 - \left(\dfrac{\kappa_{\mathrm s}}{\kappa}\right)^{\!2}\, \right]$$
(12-10)
弹塑性阶段的 $M$-$\kappa$ 关系——中曲线 $ACB$
动画 12.2.2.1

③ 塑性流动阶段 · 极限弯矩 M_u

在弹塑性阶段，随着 $M$ 增大，弹性核高度 $y_{0}$ 逐渐减小，最后达极限情况 $y_{0} \to 0$。 此时截面上应力分布为两个矩形（见动画 12.2.2.1），可算得相应的 极限弯矩：

$$ M_{\mathrm u} \;=\; \dfrac{b\, h^{2}}{4}\, \sigma_{\mathrm s}$$
(12-11)
$$ \alpha \;=\; \dfrac{M_{\mathrm u}}{M_{\mathrm s}} \;=\; 1.5$$
(12-12)
矩形截面的极限弯矩是屈服弯矩的 1.5 倍——称为 截面形状系数
动画 12.2.2.2

常见截面的形状系数

截面形状$\alpha = M_{\mathrm u}/M_{\mathrm s}$
矩形1.5
圆形（实心）1.70
圆管（薄壁）1.27
工字钢（强轴）1.10 ~ 1.17

$\alpha$ 仅与截面形状有关，与材料、尺寸、荷载无关。 矩形截面的 $\alpha = 1.5$ 意味着 按塑性设计比按弹性设计可提高 50% 承载力； 但工字钢翼缘集中在远离中性轴位置，弹性设计已较充分利用材料，塑性剩余空间较小。

双折线近似模型

虽然理想弹塑性材料的 $M$-$\kappa$ 实际为两条直线段 + 曲线段（$OAB$ 折线加 $ACB$ 曲线）， 为简化后续计算常用 双折线 $OFG$ 代替 $OACB$ 曲线： 即假设 $M < M_{\mathrm s}$ 为线性 $OA$；$M = M_{\mathrm s}$ 瞬间跃至 $M_{\mathrm u} = 1.5 M_{\mathrm s}$， 之后 $M$ 保持 $M_{\mathrm u}$ 不变（塑性流动）。本节后续分析皆采用此双折线模型。

12.2.3

卸载残余应力 · 一般截面的极限弯矩

Unloading · General Section

④ 卸载 · 残余应力

如果加载到弹塑性阶段（C 点）再进行卸载，则由于卸载时应力 / 应变增量仍为线性关系， $M$ 减小到零时，梁仍有 残余曲率 存在。此外由于加载与卸载应力-应变关系不同，截面上还存在 残余应力。

$$ \Delta\sigma \;=\; \dfrac{6\, M_{\mathrm c}}{b\, h^{2}} \;>\; \sigma_{\mathrm s} $$
(12.2-2)
卸载时应力增量仍遵循弹性规律，与原卸载前的塑性分布叠加产生残余应力

展示卸载过程：(a) 卸载前 $C$ 点截面应力分布；(b) 卸载按直线规律的应力增量；(c) 卸载后截面残余应力 $\sigma_{\mathrm r} = \Delta\sigma - \sigma_{\mathrm s}$。 卸载后截面内力为零——残余应力是一种 自相平衡的自应力状态。

动画 12.2.3
残余应力的工程意义

卸载后梁内的 残余应力 是重要工程现象——焊接钢梁、冷弯型钢等加工过程中塑性变形后都会留下残余应力， 影响结构再次加载时的 屈服时机 与 疲劳寿命。

⑤ 一般截面的极限弯矩

思考题 · 塑性阶段应力分界线在何处？

对非对称截面，弹性阶段 中性轴通过截面 形心——那么 塑性阶段， 应力为 $\pm\sigma_{\mathrm s}$ 两块矩形时，分界线在何处？

答：等面积轴——此时 $A_{1} = A_{2} = A/2$。由 $\int\sigma\,\mathrm d A = 0$ 立即得出， 中性轴把截面面积平分，而非重心平分。对非对称截面，形心轴与等面积轴 不重合。

对具有一根对称轴的任意截面：

  • 弹性阶段，应力为直线分布 $\sigma = M y/I$（12-13），中性轴通过 形心；
  • 极限状态下，应力为两矩形 $\pm \sigma_{\mathrm s}$——此时中性轴位于 等面积分界线：
$$ A_{1} \;=\; A_{2} \;=\; \dfrac{A}{2} $$
(12.2-3)
中性轴把截面 面积平分，而非形心；对非对称截面两者不重合

极限弯矩为两块合力对中性轴的力偶矩：

$$ M_{\mathrm u} \;=\; \sigma_{\mathrm s}\,\bigl(A_{1}\,\bar{y}_{1} \;+\; A_{2}\,\bar{y}_{2}\bigr) \;=\; \dfrac{A}{2}\,\sigma_{\mathrm s}\,(\bar{y}_{1} + \bar{y}_{2}) $$
(12.2-4)
$\bar{y}_{1},\bar{y}_{2}$ 为上下两块截面形心到中性轴的距离

塑性铰与普通铰的两点本质区别

普通铰 Regular Hinge

  • 铰两侧 不能承受弯矩（$M = 0$）；
  • 双向自由——可在两个转动方向自由产生相对转角。

塑性铰 Plastic Hinge

  • 铰两侧 作用有大小等于 $M_{\mathrm u}$ 的一对恒定力偶；
  • 单向——只能沿弯矩增大方向自由产生转角；若发生反向转角，塑性铰恢复为 刚性联结。
本节要点
  1. 纯弯梁经历 弹性 → 弹塑性 → 塑性 三阶段，截面应力由直线分布 → 弹性核加塑性边 → 双矩形分布；
  2. 屈服弯矩 $M_{\mathrm s} = b h^{2} \sigma_{\mathrm s}/6$；极限弯矩 $M_{\mathrm u} = b h^{2} \sigma_{\mathrm s}/4$；
  3. 形状系数 $\alpha = M_{\mathrm u}/M_{\mathrm s}$ 仅取决于截面形状（矩形 1.5、圆形 1.7、工字钢 ≈1.1）；
  4. 卸载后 残余应力 为自相平衡状态；一般截面极限弯矩用 等面积 中性轴计算；
  5. 塑性铰与普通铰两点本质差别：带 $M_{\mathrm u}$ 弯矩 + 单向转动；
  6. 下一节 §12-3 将求解 静定与超静定梁 的极限荷载。
§12-3 梁的极限荷载 →